a very occasional diary.

nondescript

Labels

2014-12-13

Zero everywhere.




Предположим, что \(\forall x\in\mathbb{R}\to f(x) \neq 0\). Возьмем произвольный интервал \([a, b] \subset \mathbb{R}\), \(a \lt b\) и докажем, что на этом интервале есть точка \(x_0\) такая, что \(\lim \limits_{x\to x_0} f(x) \neq 0\).

Пусть \(T_n = |f|^{-1}([\frac{1}{n}, +\infty)) \cap [a, b]\), т.е. \(x \in T_n \equiv |f(x)| \ge \frac{1}{n} \wedge x\in[a, b]\), для \(n > 0\).

Если каждое \(T_n\) нигде неплотно, нигде неплотно и их объединение, (т.к. \([a, b]\) — бэровское пространство), но их объединение это весь интервал \([a, b]\) — противоречие. Следовательно, некоторое \(T_n\) имеет внутреннюю точку, \(x_0 \in T_n\), тогда \(T_n\) содержит \(x_0\) вместе с неким открытым интервалом на котором, таким образом, \(|f(x)| ≥ \frac{1}{n}\), и, следовательно, \(|\lim \limits_{x\to x_0} f(x)| \ge \frac{1}{n} \gt 0\).

Заметим, что мы доказали больше, чем требовалось, а именно, что множество нулей всюду плотно. Или, что функция всюду сходящаяся к непрерывной, почти всюду непрерывна (замените \(0\) на произвольную непрерывную \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)).

(2014.12.15) Обобщение.

Let \(X\) be a Baire space, \(Y\)—a second-countable Urysohn space and \(f,g : X \to Y\)—arbitrary maps. If \((\forall x\in X)(\lim\limits_{t\to x}f(t) = \lim\limits_{t\to x}g(t))\) then \(f = g\) on a dense subset.

Proof (by contraposition). Suppose that there is an open \(A \subseteq X\), such that \((\forall x\in A)(f(x)\neq g(x))\). Let \(B\) be a countable base of \(Y\).
Define a countable family of subsets of \(A\): \(T_{U,V} = f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V) \cap A\), where \(U, V \in B\) (that is, \(U\) and \(V\) are open subsets of \(Y\)). For any \(x\in A\), \(f(x)\neq g(x)\), and because \(Y\) is Urysohn, there are \(U, V\in B, cl(U)\cap cl(V) = \varnothing, f(x)\in U, g(x)\in V\), that is, \(x\in T_{U,V}\) that is,
\(\bigcup\limits_{cl(U)\cap cl(V) = \varnothing} T_{U,V} = A\)
Because \(X\) and hence \(A\) are Baire spaces, one of \(T_{U,V}\) in the union above, say \(T_{U_0, V_0}\) is not nowhere dense. That is, there is an open set \(G\subseteq A\) such that for any \(x_0\in G\), and any open neighbourhood \(S, x_0\in S\), \(S \cap T_{U_0,V_0}\neq\varnothing\), that is there exists a \(x'\in S\) such that \(f(x') \in U_0\) and \(g(x')\in V_0\).
Suppose that \(\lim\limits_{t\to x_0}f(t) = \lim\limits_{t\to x_0}g(t) = y\in Y\). This means that every open neighbourhood of \(y\) intersects with \(U_0\), hence \(y\in cl(U_0)\). Similarly \(y\in cl(V_0)\), contradiction with \(cl(U_0)\cap cl(V_0) = \varnothing\).
PS: для задачи 2, ответ \(k = 2\cdot n - 2\).

Follow by Email